函数

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函数(Function)在数学中为两不为空集的集合间的一种对应关系:输入值集合中的每项元素皆能对应​​唯一一项输出值集合中的元素。函数也是数学建模和人工智能的基础。

函数

  • 函数三要素:自变量、因变量、对应法则
  • 表达式:$y=f(x)$,其中 x 是自变量,y 是因变量
  • 函数在 $x_0$ 处取得的函数值 $y_0 = y|_{x \to x_0} = f(x_0)$
  • 分段函数

$$ f(x)=\begin{cases} 0& \text{x=0} \\ 1& \text{x!=0} \end{cases} $$

  • 反函数:$h={\frac 12}gt^2$ -> $h=h(t) \qquad t=\sqrt{2h \over g}$ -> $t=t(h)$
  • 显函数与隐函数:$y=x^2+1 \qquad F(x,y)=0 \qquad x+y-1=0$
  • 奇偶性
    • 奇函数:$f(-x)=-f(x)$ 原点对称 $f(x)=x^3 \qquad f(-x)=(-x)^3=-f(x)$
    • 偶函数:$f(-x)=-f(x)$ y轴对称 $f(x)=x^2 \qquad f(-x)=(-x)^2=f(x)$
  • 周期函数:$f(x+T)=f(x)$
  • 单调性
    • 单调递增
    • 单调递减

函数的连续性

设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域内有定义,如果当自变量的改变量 $\Delta x$ 趋近于 0 时,相应函数的改变量 $\Delta y$ 也趋近于 0,则称 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续。

$$ \lim_{\Delta x \to 0}\Delta y=\lim[f(x_0+\Delta x)-f(x_0)]=0 $$

函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续,需要满足如下条件:

  • 函数在该点处有定义
  • 函数在该点处的极限 $\lim_{x \to x_0}f(x)$ 存在
  • 极限值等于函数值 $f(x_0)$

连续证明

函数:

$$ f(n) = \begin{cases} x+1, & x \le 0 \\ \frac{sinx}{x}, & x \gt 0 \end{cases} $$

x=0 处的连续性?

解:

$f(0)=1$ 处:

$\lim_{x \to 0^-}=\lim_{x \to 0^-}(x+1)=1 \qquad \lim_{x \to 0}f(x)=1$

$\lim_{x \to 0^+}=\lim_{x \to 0^-}\frac{sinx}{x}=1 \qquad \lim_{x \to 0}f(x)=1$

所以,函数 f(x)x=0 处的连续性。

函数的间断点

函数 f(x) 在点 $x=x_0$ 处不连续,则称其为函数的间断点。3种情况为间断点:

  1. 函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 除没有定义
  2. 函数 $\lim_{x \to x_0}f(x)$ 不存在
  3. 满足前两点,但是 $\lim_{x \to x_0}f(x) \neq f(x)$

分类

  • 当 ${x \to x_0}$ 时,$f(x)$ 的左右极限存在,则称 $x_0$ 为 $f(x)$ 的第一类间断点,否则为第二类间断点。
  • 跳跃间断点:$\lim_{x \to 0^-}f(x)$ 与 $\lim_{x \to 0^+}f(x)$ 均存在,但不相等。
  • 可去间断点:$\lim_{x \to x_0}f(x)$ 存在但不等于 $f(x_0)$

间断点证明

证明如下函数 $f(x)=\frac{x^2-1}{x^2-3x+2}$ 的连续性?

解:

在点 x=2,x=1 出有没有定义

$$\lim_{x \to 1^-}\frac{x^2-1}{x^2-3x+2}=\lim_{x \to 1^-}\frac{x+1}{x-2}=-2$$ $$\lim_{x \to 1^+}\frac{x^2-1}{x^2-3x+2}=\lim_{x \to 1^+}\frac{x+1}{x-2}=-2$$

所以,在点 $x=1$ 处是可取间断点。

$$\lim_{x \to 2^-}f(x)=-\infty$$ $$\lim_{x \to 2^+}f(x)=+\infty$$

所以,在点 $x=2$ 处是第二类间断点。

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