梯度

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在向量微积分中,梯度(gradient)是一种关于多元导数的概括,

偏导数

  • 对于一元函数 $y=f(x)$ 只存在 yx 的变化
  • 对于二元函数 $z=f(x,y)$ 存在 zx 变化的变化率,随 y 变化的变化率,随 xy 同时变化的变化率

定义

设函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的某个领域内有定义 $y=y_0$,一元函数 $f(x,y_0)$ 在点 $x=x_0$ 处可导,即极限

$$ \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}=A $$

则称 A 为函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处关于自变量 x 的偏导数为:$f_x(x_0,y_0)$,或

$$ \frac{\Delta z} {\Delta x}\Big|_{x=x_0,y=y_0} $$

$$ \frac{\Delta f} {\Delta x}\Big|_{x=x_0,y=y_0} $$

$$ z_x\big|_{x=x_0,y=y_0} $$

几何意义

$$ \frac{\Delta f} {\Delta x}\Big|{x=x_0,y=y_0}=\frac f {\Delta x} f(x,y_0)\Big|{x=x_0} $$

是曲线

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