极限

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极限(Limit) 用来描述一个数列的指标愈来愈大时,数列中元素的性质变化的趋势,也可以描述函数的自变量接近某一个值的时候,相对应的函数值变化的趋势。作为微积分数学分析的其他分支最基本的概念之一,连续导数的概念都是通过极限来定义的。

数列

按照一定次序排列的一列数:$u_1,u_2,…,u_n,…$,其中 $u_n$ 叫做通项。

对于数列 $\{u_n\}$,如果当 n 无限增大时,其通项无限接近于一个常数 A,则称该数列以 A极限 或称数列收敛于 A,否则称数列为发散。

  • 收敛数量

$$ \lim_{n \to \infty}u_n=A,或 u^n -> A (n->\infty) $$

$$ \lim_{n \to \infty}{\frac{1}{3_n}}=0 $$

$$ \lim_{n \to \infty}{\frac{n}{n+1}}=1 $$

  • 发散数列

$$ \lim_{n \to \infty}2_n $$

极限

  • ${x \to \infty}$ 表示当 $\vert x \vert$无限增大时
  • ${x \to +\infty}$ 表示当 $x$ 无限增大时
  • ${x \to -\infty}$ 表示当 $x$ 无限减少时
  • ${x \to x_0}$ 表示当 x 从 $x_0$ 的左右两侧无限接近与 $x_0$ 时
  • ${x \to x_0^+}$ 表示当 x 从 $x_0$ 的右侧无限接近与 $x_0$ 时
  • ${x \to x_0^-}$ 表示当 x 从 $x_0$ 的左侧无限接近与 $x_0$ 时
  • 示例:

$$ \lim_{x \to +\infty}e^(-x)=0 $$

$$ \lim_{x \to +\infty}{\frac{1}{x}}=0 $$

$$ \lim_{x \to +\infty}arctanx=-{\frac{\pi}{2}} $$

充要条件

$\lim_{x \to x_0}f(x)=A$ 的充要条件是 $\lim_{x \to x_0^-}f(x)=\lim_{x \to x_0^+}f(x)=A$

极限不存在示例:

$$ f(n) = \begin{cases} x-1, & {x \le 0} \\ 0, & \text{x = 0} \\ x+1, & {x \ge 0} \end{cases} $$

当 ${x \to 0}$ 时,$f(x)$ 的极限

解:

$$\lim_{x \to 0^+}f(x)=\lim_{x \to 0^+}(x+1)=1$$ $$\lim_{x \to 0^-}f(x)=\lim_{x \to 0^-}(x-1)=-1$$

左右极限存在但不相等,所以 $\lim_{x \to 0}f(x)$ 不存在。

特点

  • 无穷小的商不一定是无穷小

$$\lim_{x \to 0}\frac{x}{2x}=\frac{1}{2},\lim_{x \to 0}\frac{x^2}{2x}=0,\lim_{x \to 0}\frac{2x}{x^2}=\infty$$

  • 极限有无穷小的关系:$\lim_{x \to x_0}f(x)=A$ 的充要条件 $f(x)=A+\alpha (x)$,其中 $\alpha (x)$ 是 ${x \to x_0}$ 时的无穷小。

  • 无穷小的比较:$\alpha=\alpha(x),\beta=\beta(x)$ 都是无穷小,$\lim_{x \to x_0}\alpha(x)=0,\lim_{x \to x_0}\beta(x)=0$,如果

    • $\lim_{x \to x_0}\frac{\beta}{\alpha}=0$,则称$\beta$是比$\alpha$高阶无穷小
    • $\lim_{x \to x_0}\frac{\beta}{\alpha}=\infty$,则称$\beta$是比$\alpha$底阶无穷小
    • $\lim_{x \to x_0}\frac{\beta}{\alpha}\neq0$,则称$\beta$是比$\alpha$同阶无穷小
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