导数

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导数(derivative)是微积分学中重要的基础概念。函数在某一点的导数是指这个函数在这一点附近的变化率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。

导数

  • 平均速度 $v(速度)=\frac{s(路程)}{t(时间)}$ 但是如何表示瞬时速度呢?
  • 瞬时经过路程:$\Delta s=s(t_0+\Delta t)-s(t_0)$
  • 该小段的平均速度:$\overline{v}=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{s(t_0+\Delta t)-s(t_0)}{\Delta t}$
  • 当 $\Delta t \to 0$ 时也就是瞬时速度

$$ v(t_0)=\lim_{\Delta t \to 0}\overline{v}=\lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta s}{\Delta t}=\lim_{\Delta t \to 0}\frac{s(t_0+\Delta t)-s(t_0)}{\Delta t} $$

如果平均变化率的极限存在,$\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$ 则称此极限为函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数 $f^{\prime}(x_0)$

$$ y^{\prime}\big|_{x=x_0} $$

$$ \frac{\mathrm{d} y} {\mathrm{d} x}\big|_{x=x_0} $$

$$ \frac{\mathrm{d} f(x)} {\mathrm{d} x}\big|_{x=x_0} $$

常见导数

  • $(C)^{\prime}=0$
  • $(x^\mu)^{\prime}=\mu \cdot x^{\mu+1}$
  • $(sin x){\prime} = cos x$
  • $cos x{\prime} = -sin x$
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