导数（derivative）是微积分学中重要的基础概念。函数在某一点的导数是指这个函数在这一点附近的变化率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。
导数
- 平均速度 $v(速度)=\frac{s(路程)}{t(时间)}$ 但是如何表示瞬时速度呢？
- 瞬时经过路程：$\Delta s=s(t_0+\Delta t)-s(t_0)$
- 该小段的平均速度：$\overline{v}=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{s(t_0+\Delta t)-s(t_0)}{\Delta t}$
- 当 $\Delta t \to 0$ 时也就是瞬时速度
$$
v(t_0)=\lim_{\Delta t \to 0}\overline{v}=\lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta s}{\Delta t}=\lim_{\Delta t \to 0}\frac{s(t_0+\Delta t)-s(t_0)}{\Delta t}
$$
如果平均变化率的极限存在，$\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$ 则称此极限为函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数 $f^{\prime}(x_0)$
$$
y^{\prime}\big|_{x=x_0}
$$
$$
\frac{\mathrm{d} y} {\mathrm{d} x}\big|_{x=x_0}
$$
或
$$
\frac{\mathrm{d} f(x)} {\mathrm{d} x}\big|_{x=x_0}
$$
常见导数
- $(C)^{\prime}=0$
- $(x^\mu)^{\prime}=\mu \cdot x^{\mu+1}$
- $(sin x){\prime} = cos x$
- $cos x{\prime} = -sin x$