函数（Function）在数学中为两不为空集的集合间的一种对应关系：输入值集合中的每项元素皆能对应唯一一项输出值集合中的元素。函数也是数学建模和人工智能的基础。
函数
- 函数三要素：自变量、因变量、对应法则
- 表达式：$y=f(x)$，其中 x 是自变量，y 是因变量
- 函数在 $x_0$ 处取得的函数值 $y_0 = y|_{x \to x_0} = f(x_0)$
- 分段函数
$$
f(x)=\begin{cases}
0& \text{x=0} \\
1& \text{x!=0}
\end{cases}
$$
- 反函数：$h={\frac 12}gt^2$ -> $h=h(t) \qquad t=\sqrt{2h \over g}$ -> $t=t(h)$
- 显函数与隐函数：$y=x^2+1 \qquad F(x,y)=0 \qquad x+y-1=0$
- 奇偶性
- 奇函数：$f(-x)=-f(x)$ 原点对称 $f(x)=x^3 \qquad f(-x)=(-x)^3=-f(x)$
- 偶函数：$f(-x)=-f(x)$ y轴对称 $f(x)=x^2 \qquad f(-x)=(-x)^2=f(x)$
- 周期函数：$f(x+T)=f(x)$
- 单调性
函数的连续性
设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域内有定义，如果当自变量的改变量 $\Delta x$ 趋近于 0 时，相应函数的改变量 $\Delta y$ 也趋近于 0，则称 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续。
$$
\lim_{\Delta x \to 0}\Delta y=\lim[f(x_0+\Delta x)-f(x_0)]=0
$$
函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续，需要满足如下条件：
- 函数在该点处有定义
- 函数在该点处的极限 $\lim_{x \to x_0}f(x)$ 存在
- 极限值等于函数值 $f(x_0)$
连续证明
函数：
$$
f(n) =
\begin{cases}
x+1, & x \le 0 \\
\frac{sinx}{x}, & x \gt 0
\end{cases}
$$
在 x=0 处的连续性？
解：
$f(0)=1$ 处：
$\lim_{x \to 0^-}=\lim_{x \to 0^-}(x+1)=1 \qquad \lim_{x \to 0}f(x)=1$
$\lim_{x \to 0^+}=\lim_{x \to 0^-}\frac{sinx}{x}=1 \qquad \lim_{x \to 0}f(x)=1$
所以，函数 f(x) 在 x=0 处的连续性。
函数的间断点
函数 f(x) 在点 $x=x_0$ 处不连续，则称其为函数的间断点。3种情况为间断点：
- 函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 除没有定义
- 函数 $\lim_{x \to x_0}f(x)$ 不存在
- 满足前两点，但是 $\lim_{x \to x_0}f(x) \neq f(x)$
分类
- 当 ${x \to x_0}$ 时，$f(x)$ 的左右极限存在，则称 $x_0$ 为 $f(x)$ 的第一类间断点，否则为第二类间断点。
- 跳跃间断点：$\lim_{x \to 0^-}f(x)$ 与 $\lim_{x \to 0^+}f(x)$ 均存在，但不相等。
- 可去间断点：$\lim_{x \to x_0}f(x)$ 存在但不等于 $f(x_0)$
间断点证明
证明如下函数 $f(x)=\frac{x^2-1}{x^2-3x+2}$ 的连续性？
解：
在点 x=2,x=1 出有没有定义
$$\lim_{x \to 1^-}\frac{x^2-1}{x^2-3x+2}=\lim_{x \to 1^-}\frac{x+1}{x-2}=-2$$
$$\lim_{x \to 1^+}\frac{x^2-1}{x^2-3x+2}=\lim_{x \to 1^+}\frac{x+1}{x-2}=-2$$
所以，在点 $x=1$ 处是可取间断点。
$$\lim_{x \to 2^-}f(x)=-\infty$$
$$\lim_{x \to 2^+}f(x)=+\infty$$
所以，在点 $x=2$ 处是第二类间断点。