极限(Limit) 用来描述一个数列的指标愈来愈大时，数列中元素的性质变化的趋势，也可以描述函数的自变量接近某一个值的时候，相对应的函数值变化的趋势。作为微积分和数学分析的其他分支最基本的概念之一，连续和导数的概念都是通过极限来定义的。
数列
按照一定次序排列的一列数：$u_1,u_2,…,u_n,…$，其中 $u_n$ 叫做通项。
对于数列 $\{u_n\}$，如果当 n 无限增大时，其通项无限接近于一个常数 A，则称该数列以 A 为 极限 或称数列收敛于 A，否则称数列为发散。
$$
\lim_{n \to \infty}u_n=A，或 u^n -> A (n->\infty)
$$
$$
\lim_{n \to \infty}{\frac{1}{3_n}}=0
$$
$$
\lim_{n \to \infty}{\frac{n}{n+1}}=1
$$
$$
\lim_{n \to \infty}2_n
$$
极限
- ${x \to \infty}$ 表示当 $\vert x \vert$无限增大时
- ${x \to +\infty}$ 表示当 $x$ 无限增大时
- ${x \to -\infty}$ 表示当 $x$ 无限减少时
- ${x \to x_0}$ 表示当 x 从 $x_0$ 的左右两侧无限接近与 $x_0$ 时
- ${x \to x_0^+}$ 表示当 x 从 $x_0$ 的右侧无限接近与 $x_0$ 时
- ${x \to x_0^-}$ 表示当 x 从 $x_0$ 的左侧无限接近与 $x_0$ 时
- 示例：
$$
\lim_{x \to +\infty}e^(-x)=0
$$
$$
\lim_{x \to +\infty}{\frac{1}{x}}=0
$$
$$
\lim_{x \to +\infty}arctanx=-{\frac{\pi}{2}}
$$
充要条件
$\lim_{x \to x_0}f(x)=A$ 的充要条件是 $\lim_{x \to x_0^-}f(x)=\lim_{x \to x_0^+}f(x)=A$
极限不存在示例：
$$
f(n) =
\begin{cases}
x-1, & {x \le 0} \\
0, & \text{x = 0} \\
x+1, & {x \ge 0}
\end{cases}
$$
当 ${x \to 0}$ 时，$f(x)$ 的极限
解：
$$\lim_{x \to 0^+}f(x)=\lim_{x \to 0^+}(x+1)=1$$
$$\lim_{x \to 0^-}f(x)=\lim_{x \to 0^-}(x-1)=-1$$
左右极限存在但不相等，所以 $\lim_{x \to 0}f(x)$ 不存在。
特点
$$\lim_{x \to 0}\frac{x}{2x}=\frac{1}{2},\lim_{x \to 0}\frac{x^2}{2x}=0,\lim_{x \to 0}\frac{2x}{x^2}=\infty$$
极限有无穷小的关系：$\lim_{x \to x_0}f(x)=A$ 的充要条件 $f(x)=A+\alpha
(x)$，其中 $\alpha
(x)$ 是 ${x \to x_0}$ 时的无穷小。
无穷小的比较：$\alpha=\alpha(x),\beta=\beta(x)$ 都是无穷小，$\lim_{x \to x_0}\alpha(x)=0,\lim_{x \to x_0}\beta(x)=0$，如果
- $\lim_{x \to x_0}\frac{\beta}{\alpha}=0$，则称$\beta$是比$\alpha$高阶无穷小
- $\lim_{x \to x_0}\frac{\beta}{\alpha}=\infty$，则称$\beta$是比$\alpha$底阶无穷小
- $\lim_{x \to x_0}\frac{\beta}{\alpha}\neq0$，则称$\beta$是比$\alpha$同阶无穷小